Будущий ведущий программы "С новым домом!" родился 10 марта 1960 года в Москве в артистической семье. Его родители были артистами балета Большого театра. Алексей не пошел по стопам родителей, а с ранних лет избрал путь художника.

С 1971 по 1978 год он учился в Московской Средней Художественной Школе, А с1978 по 1983 – в Московском Государственном Художественном Институте им. Сурикова. Сразу после окончания института Алексей Бегак стал работать в московских книжных издательствах в качестве художника-иллюстратора и дизайнера книг. Среди его работ книги о Герберте Уэллсе, Артуре Конан Дойле, Эрнесте Хемингуэе, Борисе Пастернаке и т.д.

В 1992 году, после книжного черно-белого периода, Алексей возвратился к занятию живописью. Его картины выставлялись в одной из первых частных галерей Москвы «ArtModern», в галерее «Зеро», в «Eleonor Ettinger Gallery» в Нью Йорке. С 1992 по 2011 он написал около сотни картин, и все они находятся в частных и корпоративных коллекциях в России, США, Японии, Англии, Германии.

Проведя год в Лондоне, Алексей Бегак помимо занятия живописью, увлекся дизайном интерьеров. Начав с переустройства своего собственного дома под Москвой и показав его друзьям, Алексей очень скоро стал востребованным дизайнером и архитектором. Вместе с партнером Дарьей Семеновой они придумали, спроектировали и построили десятки частных домов и апартаментом в Москве и Петербурге.

Среди их работ 3 частных дома в Финляндии и элитный поселок в Подмосковье, где они выступали как девелоперы, архитекторы, дизайнеры и строители одновременно.